馬優(yōu)秀教案

優(yōu)秀教案。

經(jīng)驗(yàn)時(shí)常告訴我們，做事要提前做好準(zhǔn)備。身為一位優(yōu)秀的幼兒園的老師我們都希望自己能教孩子們學(xué)到一些知識(shí)，優(yōu)秀的教案能幫老師們更好的解決學(xué)習(xí)上的問(wèn)題，教案可以讓上課自己輕松的同時(shí)，學(xué)生也更好的消化課堂內(nèi)容。那么一篇好的幼兒園教案要怎么才能寫(xiě)好呢？以下是小編精心收集整理的馬優(yōu)秀教案,帶給大家。供你參考和使用，請(qǐng)收藏和分享。

馬優(yōu)秀教案(篇1)

教案是教師為順利而有效地開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)大綱和教科書(shū)要求及學(xué)生的實(shí)際情況，以課時(shí)或課題為單位，對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)步驟、教學(xué)方法等進(jìn)行的具體設(shè)計(jì)和安排的一種實(shí)用性教學(xué)文書(shū)。今天為大家精心準(zhǔn)備了麥稈畫(huà)欣賞與制作教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)秀教案 ，希望對(duì)大家有所幫助!

麥稈畫(huà)欣賞與制作教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)秀教案

　活動(dòng)目標(biāo)：

1、學(xué)習(xí)“麥稈畫(huà)”制作的一些簡(jiǎn)單技能，初步嘗試用麥稈粘貼作畫(huà)。

2、發(fā)揮幼兒的想象力和創(chuàng)作力，體驗(yàn)創(chuàng)作的樂(lè)趣，感受成功的喜悅。

活動(dòng)準(zhǔn)備：

1、麥稈、剪刀，雙面膠、抹布和廢紙簍。

2、范例作品。用麥稈編制的物件。

活動(dòng)過(guò)程：

一、引題。

今天老師給大家?guī)?lái)了一位神秘的客人，請(qǐng)大家一起來(lái)看看它是誰(shuí)呀？（麥子）

1、小朋友來(lái)說(shuō)說(shuō)這些麥子有什么用？（作糧食，磨成粉做面包等）

2、那你覺(jué)得麥稈有什么用？（作燃料，作掃帚），還能用來(lái)做什么？（出示編制的麥稈編制品）。

3、麥稈是很有用的材料，很好玩，還可以派大用場(chǎng)，用來(lái)作畫(huà)呢，我們一起用麥稈作畫(huà)吧。

三、講解,示范.

1、

出示范例圖一：

請(qǐng)幼兒欣賞三幅作畫(huà)步驟范例畫(huà)，讓幼兒說(shuō)說(shuō)三角形圖案添幾根變成什么？（幼兒講述和想象）

2、出示的范例二：（粘有雙面膠）

老師豎粘一麥稈,問(wèn):這可以變成什么?幼兒想象并說(shuō)說(shuō)長(zhǎng)方形、正方形圖案添幾根變成什么？（幼兒講述和想象）。（老師示范粘貼一電視機(jī)或冰箱）

3、出示麥稈組合范例畫(huà)：

問(wèn)：我們一起來(lái)看看老師把麥稈變成了什么？它們是由哪些圖形組成的？（幼兒講述）

四、幼兒創(chuàng)作部分。

1、讓我們也來(lái)作一幅畫(huà)吧，你準(zhǔn)備在紙上面用各種圖形變上一些什么東西？

2、請(qǐng)大家先想好畫(huà)的內(nèi)容，再自己挑一張喜歡的底板紙，然后請(qǐng)你剪下合適的長(zhǎng)度，試試把圖形先擺好。然后粘貼上去?，F(xiàn)在我們就開(kāi)始作畫(huà)吧。

3、

幼兒動(dòng)手操作部分，老師巡回觀察，適當(dāng)指導(dǎo)和提醒。

4、請(qǐng)幼兒將作品完成后張貼起來(lái)，鼓勵(lì)幼兒欣賞自己和別人的作品。

五、師幼共評(píng)作品。

1、老師先以大拇指為獎(jiǎng)勵(lì)，表明態(tài)度，再請(qǐng)幼兒一起作評(píng)委，自己將大拇指獎(jiǎng)給自己最喜歡的作品。

a.（哇，大家的作品真棒呀，我最喜歡這幅畫(huà)，它是由xx形和xx形組成的,這是誰(shuí)的作品呀?老師說(shuō)得對(duì)嗎?真好,老師獎(jiǎng)給你一個(gè)大拇指.）

b.(我也喜歡這幅作品, 這是誰(shuí)的作品呀?你喜歡麥稈畫(huà)嗎? 真不錯(cuò),老師也獎(jiǎng)給你一個(gè)大拇指.)

c.(這幅作品也很棒, 這是誰(shuí)的.作品呀?我們請(qǐng)小畫(huà)家自己來(lái)介紹一下自己的作品吧.)(好,老師也獎(jiǎng)給你一個(gè)大拇指.)

d.(哇,還有那么多的作品也想得到小朋友們的大拇指,你們仔細(xì)看看,你認(rèn)為最棒,最喜歡的畫(huà)在哪里?想好了就把拇指獎(jiǎng)給這幅作品.4---6個(gè)幼兒為一次,分批獎(jiǎng)大拇指,直至全部幼兒都獎(jiǎng)好拇指)

2、幼兒一起評(píng)出最棒的小朋友們最喜歡的作品，用相框標(biāo)起來(lái)，將作品上墻展覽作品。我們一起看看得大拇指最多的作品在哪里,一起把作品帶到教室貼起來(lái)給大家欣賞吧!

麥稈畫(huà)欣賞與制作教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)秀教案

　活動(dòng)目標(biāo)：

1、通過(guò)自己的觀察了解指印的特點(diǎn)

2、學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單的線條添畫(huà)來(lái)表達(dá)自己的聯(lián)想

3、初步學(xué)會(huì)運(yùn)用指印畫(huà)的形式表現(xiàn)生活中的事物

4、激發(fā)幼兒感受不同的藝術(shù)美，體驗(yàn)作畫(huà)的樂(lè)趣。

5、鼓勵(lì)幼兒樂(lè)于參與繪畫(huà)活動(dòng)，體驗(yàn)繪畫(huà)活動(dòng)的樂(lè)趣。

活動(dòng)準(zhǔn)備：

1、自制指印畫(huà)一份

2、幼兒繪畫(huà)用品人手一套

活動(dòng)過(guò)程：

一、欣賞作品，激發(fā)幼兒興趣

今天，老師帶來(lái)了一副特別的畫(huà)，大家一起來(lái)欣賞一下好嗎？（黑板上展示作品）

你看到了什么？有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這些畫(huà)中的小秘密？

二、引導(dǎo)幼兒探索：

1、教師現(xiàn)場(chǎng)演示一個(gè)指印，讓幼兒觀察這是什么？這個(gè)指印跟老師的畫(huà)有什么一樣的地方？（原來(lái)老師的畫(huà)就是指印畫(huà)出來(lái)的）

2、我們的手印能畫(huà)出這么漂亮的畫(huà)，小朋友想不想學(xué)呀！

三、教師教畫(huà)過(guò)程

1、老師請(qǐng)小朋友伸出自己的小手，看一看，我們的這邊小手有幾根手指？（五個(gè)手指頭）它們分別是大拇指、食指、中指、無(wú)名指、小指。

現(xiàn)在老師請(qǐng)小朋友想一想：這幾個(gè)不同的手指頭，印出來(lái)的指印效果會(huì)相同嗎？

老師來(lái)試一試，看看是怎樣的結(jié)果？老師在紙上分別印出大拇指、食指、中指、無(wú)名指、小指的指印，然后和幼兒一起分析（不同的手指有大小不同的變化，而且它們大小不一）

2、老師教幼兒怎么使用我們那幾個(gè)手?。浚ㄔ诋?huà)畫(huà)中大的地方用大拇指，小的地方用小指，其它幾個(gè)可根據(jù)你的需要靈活地交換印用，還有我們的手指頭，不僅可以正著印，也可以橫著、斜著、兩個(gè)三個(gè)指印重疊，或是整根手指全用上，反正有許多不同的印法）

3、老師提出幾個(gè)畫(huà)指印畫(huà)的幾個(gè)注意事項(xiàng)：小朋友在手指印畫(huà)的時(shí)候，顏料不能粘的太多，太多的就會(huì)就會(huì)看不出形狀，而且畫(huà)面不美觀，還有不能壓的太重或太輕，不能太多顏料或太干了，也不能太用力或用力不平均，或是太輕了，還有最重經(jīng)手要干凈。

4、老師教畫(huà)

今天我們學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的指印畫(huà)（毛毛蟲(chóng)）在完成一系列的指印后，最后請(qǐng)小朋友勾勒出毛毛蟲(chóng)的造型。

活動(dòng)反思：

用顏料印畫(huà)小手，對(duì)于小班的幼兒來(lái)說(shuō)是一個(gè)全新的體驗(yàn)，考慮到這是幼兒第一次體驗(yàn)玩色活動(dòng)，因此我將本次活動(dòng)在目標(biāo)的定位為：

1、初步了解手印畫(huà)的技巧，學(xué)習(xí)印畫(huà)自己的手。

2、體驗(yàn)玩色活動(dòng)的樂(lè)趣。

活動(dòng)開(kāi)展的過(guò)程跟設(shè)計(jì)時(shí)有一定的出入，活動(dòng)中的操作環(huán)節(jié)，我沒(méi)有請(qǐng)幼兒進(jìn)行分組操作，而是請(qǐng)幼兒逐一在老師的引導(dǎo)下來(lái)嘗試印畫(huà)，通過(guò)手把手的逐一指導(dǎo)來(lái)鞏固印畫(huà)中卷衣袖、蘸顏料、抖顏料以及印畫(huà)的技巧。雖然存在著一個(gè)幼兒在操作，其余幼兒在觀看的現(xiàn)象，也少了幼兒自主探索、發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，但是我想對(duì)于初次接觸此類(lèi)活動(dòng)的幼兒來(lái)說(shuō)，養(yǎng)成良好的操作常規(guī)要比單純的掌握手印畫(huà)的技巧來(lái)得重要。從活動(dòng)效果來(lái)看，今天的活動(dòng)中，他們不但掌握了手印畫(huà)的基本技巧，更重要的是了解了玩色游戲的規(guī)則，這就為以后的玩色活動(dòng)奠定了良好的基礎(chǔ)。

本次活動(dòng)中我使用的是紅、黃、藍(lán)三個(gè)基礎(chǔ)顏色的純色顏料，因此在印畫(huà)小手環(huán)節(jié)，我又隨機(jī)引導(dǎo)幼兒說(shuō)說(shuō)：“我喜歡**顏色和**顏色。”讓幼兒在藝術(shù)活動(dòng)中，不但鞏固了對(duì)紅、黃、藍(lán)這三種顏色的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也豐富了語(yǔ)言表達(dá)能力。在活動(dòng)中，幼兒還合作完成了手印畫(huà)“大樹(shù)”，樹(shù)上每增加一個(gè)手印，孩子們便會(huì)情不自禁地鼓起掌來(lái)，最后我們一起將大樹(shù)貼上主題墻，孩子們站在樹(shù)下，找找“我的手、你的手”，感嘆手印畫(huà)的神奇的同時(shí)，也充分體驗(yàn)到了合作的快樂(lè)。

當(dāng)然，活動(dòng)中還有較多不足，如：當(dāng)孩子印畫(huà)出不同形狀的手印時(shí)，作為老師還可以用語(yǔ)言引導(dǎo)來(lái)提示幼兒大膽地進(jìn)行想象，如：“哇，這個(gè)手掌真像一棵大樹(shù)的樹(shù)枝！”“這個(gè)手掌像什么？”并可嘗試根據(jù)幼兒的想象進(jìn)行添畫(huà)，相信這樣更能激發(fā)幼兒對(duì)于玩色活動(dòng)的興趣，能讓孩子在藝術(shù)活動(dòng)中獲得更多元的發(fā)展。

麥稈畫(huà)欣賞與制作教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)秀教案

活動(dòng)目標(biāo)：

1、初步大膽嘗試用手指印畫(huà)，通過(guò)欣賞、觀察范畫(huà)作品，了解在手指印上用記號(hào)筆進(jìn)行添畫(huà)的方法。

2、在繪畫(huà)過(guò)程中能大膽想象和創(chuàng)造，并注意畫(huà)面的整潔。

活動(dòng)準(zhǔn)備：

范畫(huà)一張 在白紙上畫(huà)一個(gè)放大的橢圓形的手指羅紋 水粉顏料 記號(hào)筆 抹布 畫(huà)紙

活動(dòng)過(guò)程：

一、導(dǎo)入活動(dòng)，引起興趣。

1、出示范畫(huà)，小朋友老師這里有一張圖畫(huà)，你們看看上面有些什么呀？（有毛毛蟲(chóng)、小雞、葡萄、蘑菇、小兔、刺猬、人等等）“小雞嘰嘰，小貓妙妙……”咦？這些畫(huà)與我們?cè)瓉?lái)看到的圖畫(huà)一樣嗎？（不一樣）你們知道它是用什么畫(huà)的嗎？（用手指印的）

2、小結(jié)：哦，原來(lái)它們?nèi)际怯檬种赣〕鰜?lái)的。

3、出示手指羅紋

為了讓小朋友能清楚的看清我們手指的羅紋，老師這里有一張放大的手指印，你們看看手指的羅紋是怎樣的？（一圈一圈的）

下面我們小朋友也來(lái)用手指試一試，看看能印出那些東西來(lái)？

二、引導(dǎo)幼兒嘗試手指印畫(huà)，初步了解印畫(huà)的基本方法。

1、在印畫(huà)之前小朋友首些要想好你要印什么，然后用手指蘸上水粉顏料印在紙上，等稍干后再用記號(hào)筆進(jìn)行添畫(huà)。

2、提醒幼兒手指印不要印的太密，以免影響添畫(huà)，使畫(huà)面過(guò)于擁擠。

3、印好后將手指在抹布上擦干凈。

4、教師在范例上進(jìn)行添畫(huà)，變出一只大公雞。

現(xiàn)在我們一起來(lái)變只大公雞好嗎？（好）請(qǐng)小朋友想一想印大公雞先印什么（身體）那么用哪只手指印呢？（大拇指）為什么要用大拇指?。浚ㄒ?yàn)樯眢w大）再印什么（頭）用哪只手指?。ㄊ持福槭裁匆檬持赣?？（因?yàn)轭^比身體小，食指比大拇指小）然后在用記號(hào)筆添上脖子、尾巴、腳、雞冠。

三、幼兒操作，教師指導(dǎo)幼兒注意畫(huà)面的整潔。

下面老師為小朋友準(zhǔn)備了一些材料，你們自己去試試看用手指能印出什么來(lái)。

四、分享制作成功的快樂(lè)。

印好的小朋友可以下去看看別的小朋友的作品，看看他們印了些什么。

馬優(yōu)秀教案(篇2)

1、盤(pán)古用頭頂著天，用腳使勁蹬著地，天地形成了，盤(pán)古卻累得到下了，盤(pán)古倒下后，發(fā)生了什么呢?請(qǐng)同學(xué)們自讀第四自然段。

2、生讀。

3、你讀懂了什么?

4、生1：我從中體會(huì)到盤(pán)古真?zhèn)ゴ?，不但為我們開(kāi)辟了天地，死后還為我們作出貢獻(xiàn)。

5、生2：我知道了我們的山川河流、花草樹(shù)木都是盤(pán)古的身體變成的。

6、那我們應(yīng)該用什么樣的感情讀一段呢?

8、請(qǐng)全體同學(xué)起立，就讓我們帶著這樣的感情來(lái)讀一讀吧。

9、生齊讀。

10、課文里有不少像“隆隆的雷聲”“茂盛的花草樹(shù)木”這樣的詞語(yǔ)，我們來(lái)找一找，用你喜歡的符號(hào)勾畫(huà)下來(lái)，再抄到積累本上。

11、學(xué)生勾畫(huà)、摘抄。

12、課件出示題目。

14、同學(xué)們讀的時(shí)候，我仿佛看到了盤(pán)古到下后身體變化的畫(huà)面，你看到了嗎?

16、那再讓我們把這雄壯而動(dòng)人的畫(huà)面轉(zhuǎn)化成飽含深情的語(yǔ)言，讀出對(duì)盤(pán)古的崇敬之情吧。

19、生接：人類(lèi)的老祖宗盤(pán)古，用他的整個(gè)身體創(chuàng)造了美麗的宇宙!

馬優(yōu)秀教案(篇3)

鵝鵝鵝

1.教學(xué)目的

1．通過(guò)課程引導(dǎo)孩子了解和發(fā)展生活中的動(dòng)物總是對(duì)觀察感興趣。

2.通過(guò)觀察圖片鍛煉孩子觀察和發(fā)現(xiàn)事物特征的能力。 3.幫助學(xué)生練習(xí)掌握白鵝形。

2.教學(xué)準(zhǔn)備

3．教學(xué)過(guò)程

1．課前介紹，題目以唐詩(shī)為主導(dǎo)（永歌七歲時(shí)羅賓王作，《雁鵝，曲香向天歌，白發(fā)飄綠水，紅掌牽清波》） strong>

孩子們會(huì)背這首唐詩(shī)嗎？這是羅賓王7歲時(shí)觀察白鵝玩耍時(shí)寫(xiě)下的詩(shī)句。每個(gè)人都可以這樣做嗎？我們不需要寫(xiě)詩(shī)，但我們可以通過(guò)圖片來(lái)表達(dá)。

四。圖片欣賞

只說(shuō)鵝，你會(huì)把白鵝和天鵝混為一談嗎？與圖中的天鵝相比，白鵝的體型更大，額頭大，嘴巴橙黃色。天鵝有著更加優(yōu)美的體型和細(xì)長(zhǎng)的脖子。繪畫(huà)時(shí)要注意其特點(diǎn)。

這是一群鵝在河邊散步。注意他們的腳。它們非常厚實(shí)和強(qiáng)壯。手指附著在小狗身上。看起來(lái)像一只鵝即將展翅。

這是一對(duì)白鵝。仔細(xì)觀察公鵝和母鵝的區(qū)別。我可以建議離我們最近的是妻子。在白鵝中，雄鵝的冠部較厚，而雌鵝的冠部較小。

很多。

這兩只鵝正在互相幫助整理它們的羽毛。其中一個(gè)有一個(gè)大皇冠。他一定是個(gè)長(zhǎng)老。孩子們可以與其他孩子相愛(ài)和互相幫助嗎？

這個(gè)水上小屋是白鵝的水上樂(lè)園，也是它們共同的家園。它確保他們可以過(guò)上和平無(wú)憂的生活。你有沒(méi)有想過(guò)為你的白鵝準(zhǔn)備一個(gè)家？

觀察這兩只鵝優(yōu)美的游泳姿勢(shì)。

V.實(shí)踐練習(xí)

1.注意構(gòu)圖，畫(huà)面主體要位于整幅畫(huà)面的中心，如果使用多個(gè)物體，要注意畫(huà)面的構(gòu)圖。平衡，既不太大也不太小。

2.注意顏色的選擇。通過(guò)對(duì)畫(huà)面的觀察，盡量突出白鵝的美麗和潔白。 3、注重細(xì)節(jié)，展現(xiàn)白鵝的特點(diǎn)，不要與天鵝混淆，突出它的額頭，紅色的鞋底，強(qiáng)壯的身體……

六?？偨Y(jié)評(píng)論

馬優(yōu)秀教案(篇4)

Goose 教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)情況分析：

二年級(jí)屬于低年級(jí)的成熟階段。這個(gè)年齡段的學(xué)生獨(dú)立探究和合作學(xué)習(xí)的能力較弱，需要進(jìn)一步的指導(dǎo)。教學(xué)目標(biāo)：

1 知識(shí)和技能：用輕快的聲音和情感唱“鵝”。

2 過(guò)程與方法： （1）指導(dǎo)學(xué)生用打擊樂(lè)器伴奏歌曲。 (2)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行音樂(lè)劇表演。

3 情感態(tài)度和價(jià)值觀：引導(dǎo)學(xué)生有自我保護(hù)的精神和與壞人作斗爭(zhēng)的勇氣。教學(xué)重點(diǎn)：

1 歌曲《鵝》的演唱。

2 引導(dǎo)學(xué)生用歌聲表達(dá)歌曲中的不同意象。教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)唱《鵝》這首歌。

指導(dǎo)學(xué)生用打擊樂(lè)伴奏歌曲。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)故事創(chuàng)作音樂(lè)劇。

教具：多媒體課件鋼琴打擊樂(lè)器人物頭飾教學(xué)流程：

1．組織教學(xué)

1師生打招呼

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2穩(wěn)定情緒

二、謎語(yǔ)介紹

老師：上課前，我給大家?guī)?lái)了一個(gè)小謎語(yǔ)，看看哪個(gè)同學(xué)最聰明。 （頭戴紅帽，身著白袍，伸著脖子說(shuō)話，走路裝腔作勢(shì)。）（像鵝一樣引導(dǎo)學(xué)生猜謎語(yǔ)）

健康：鵝。

老師：學(xué)生真聰明，幫不了你。你將來(lái)一定會(huì)非常成功。

同學(xué)們，老師上課前遇到了一只鵝，你們想知道發(fā)生了什么嗎？ 44頁(yè)的書(shū)我可以告訴你，現(xiàn)在我的同學(xué)們跟著我，情緒化地大聲朗讀歌詞！

我們讀完了歌詞。誰(shuí)能用自己的話告訴老師鵝的遭遇？

學(xué)生：（引導(dǎo)學(xué)生用自己的話描述故事，鍛煉語(yǔ)言能力。）表?yè)P(yáng)學(xué)生。

（講完故事后）同學(xué)們，大鵝知道自己的孩子被大灰狼咬了怎么辦，人生中遇到壞人怎么辦？

同學(xué)們：表達(dá)想法（給予正確指導(dǎo)）

三、學(xué)唱歌

老師：同學(xué)們，現(xiàn)在讓我讓我們來(lái)聽(tīng)聽(tīng)《鵝》這首歌。 （播放歌曲） 在聆聽(tīng)的過(guò)程中，我們需要感受歌曲的不同情緒。師：同學(xué)們，你們有沒(méi)有感受到那些情緒？盛：（鵝媽媽的包沒(méi)了，著急！朱大灰狼走了，寶寶生氣了，快把大灰狼趕走）

老師：跟著對(duì)歌的理解學(xué)學(xué)吧這首歌。彈奏鋼琴?gòu)木鋪?lái)教歌曲。

老師：同學(xué)們注意了嗎？第六句“拯救你的小孩”在一個(gè)音符下。

盛：原來(lái)如此。

老師：這里，我們要用兩個(gè)十六分音符的節(jié)奏來(lái)唱八分音符。讓我們?cè)賮?lái)一次。學(xué)生：（跟著唱）

老師：學(xué)生學(xué)得真快，真厲害！為了獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生，讓我們?cè)俾?tīng)一遍這首歌。學(xué)生要注意歌曲的情緒和速度。

老師：我看到很多同學(xué)已經(jīng)跟著音樂(lè)唱歌了。如果我們滿(mǎn)足您，讓我們跟著音樂(lè)一起唱歌！ （跟著音樂(lè)唱歌曲，注意情緒的表達(dá)。）

四．?dāng)U展和擴(kuò)展

同學(xué)們，你們唱得真好！現(xiàn)在想問(wèn)問(wèn)同學(xué)們，這首歌里的人物是誰(shuí)？

學(xué)生：鵝媽媽、鵝寶寶、過(guò)路的鵝、大灰狼

老師：每個(gè)人都有不同的特點(diǎn)，我們來(lái)模仿一下？看看哪位同學(xué)模仿得最多，老師會(huì)給你獎(jiǎng)勵(lì)。 （給一個(gè)頭飾）

老師：學(xué)生們真的很厲害，他們真的學(xué)會(huì)了自己是什么樣的人。我看到同學(xué)們的手腳都很靈活?，F(xiàn)在，我們應(yīng)該在音樂(lè)中加入我們的小手和小腳嗎？

學(xué)生：好老師：現(xiàn)在分組討論一下，拍手拍腳，每個(gè)故事情節(jié)的伴奏。然后根據(jù)故事情節(jié)添加打擊樂(lè)。

老師：看得出來(lái)，學(xué)生們的音樂(lè)天賦是驚人的。現(xiàn)在希望同學(xué)們放下小腦袋里的想法，根據(jù)自己對(duì)故事的理解，戴上頭套表演音樂(lè)劇。 （采用情景教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)歌曲中的故事人物，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)造力，讓學(xué)生充分領(lǐng)會(huì)歌曲的主要內(nèi)容和思想感受。） p> V。課堂總結(jié)

同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了Goose這首歌，并進(jìn)行了表演。你想對(duì)故事中的人物說(shuō)些什么？

同學(xué)們：（團(tuán)結(jié)就是強(qiáng)大，勇氣可以戰(zhàn)勝一切。動(dòng)物是人類(lèi)的好朋友等等） 老師：同學(xué)們，如果你在生活中遇到困難，你會(huì)怎么做？ （老師引導(dǎo)學(xué)生討論，引起學(xué)生的情感共鳴，達(dá)到情感升華。） 學(xué)生：（團(tuán)結(jié)互助，樂(lè)于助人，勇敢面對(duì)困難等）就在這里，再見(jiàn)，同學(xué)們（學(xué)生們隨著音樂(lè)在課堂外唱歌和節(jié)奏，結(jié)束了課程。

馬優(yōu)秀教案(篇5)

數(shù)學(xué)《余弦定理》教案

教學(xué)設(shè)計(jì)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

對(duì)余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過(guò)向量知識(shí)給予證明的.一是進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)向量工具性的認(rèn)識(shí)，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問(wèn)題中的威力.課后仍鼓勵(lì)學(xué)生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述出來(lái)，并讓學(xué)生結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)明確：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角;如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角;如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的幾種變形式，并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、化簡(jiǎn)的目的.

應(yīng)用余弦定理及其另一種形式，并結(jié)合正弦定理，可以解決以下問(wèn)題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形;(2)已知三角形的三邊解三角形.在已知兩邊及其夾角解三角形時(shí)，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知三邊解三角形的問(wèn)題.在已知三邊和一個(gè)角的情況下，求另一個(gè)角既可以應(yīng)用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一種形式，可以(根據(jù)角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來(lái)確定角的大小.

根據(jù)教材特點(diǎn)，本內(nèi)容安排2課時(shí).一節(jié)重在余弦定理的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，一節(jié)重在解三角形中兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用.

三維目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應(yīng)用;了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系;知道解三角形問(wèn) 題的幾種情形.

2.通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識(shí);同時(shí)通過(guò)正弦定理、余弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美.

3.加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，本節(jié)的主要數(shù)學(xué)思想是量化的數(shù)學(xué)思想、分類(lèi)討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想;這些數(shù)學(xué)思想是對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的認(rèn)識(shí)，具有普遍的指導(dǎo)意義，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有利于加深學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握余弦定理;理解余弦定理的推導(dǎo)及其另一種形式，并能應(yīng)用它們解三角形.

教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的證明及其基本應(yīng)用以及結(jié)合正弦定理解三角形.

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(類(lèi)比導(dǎo)入)在探究正弦定理的證明過(guò)程中，從直角三角形的特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了正弦定理.現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨切蔚倪@種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再適當(dāng)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行探索，這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于學(xué)生接受.

思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個(gè)邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化出來(lái)呢?也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個(gè)角呢?根據(jù)我們掌握的數(shù)學(xué)方法，比如說(shuō)向量法，坐標(biāo)法，三角法，幾何法等，類(lèi)比正弦定理的證明，你能推導(dǎo)出余弦定理嗎?

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

??1?通過(guò)對(duì)任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角量化，我們發(fā)現(xiàn)了正弦定理，解決了兩類(lèi)解三角形的問(wèn)題.那么如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢?

?2?能否用平面幾何方法或向量方法或坐標(biāo)方法等探究出計(jì)算第三邊長(zhǎng)的關(guān)系式或計(jì)算公式呢?

?3?余弦定理的內(nèi)容是什么?你能用文字語(yǔ)言敘述它嗎?余弦定理與以前學(xué)過(guò)的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近?

?4?余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么?

?5?余弦定理可以解決哪些類(lèi)型的解三角形問(wèn)題?怎樣求解?

?6?正弦定理與余弦定理在應(yīng)用上有哪些聯(lián)系和區(qū)別?

活動(dòng)：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合課件“余弦定理猜想與驗(yàn)證”，教師引導(dǎo)學(xué)生仍從特殊情形入手，通過(guò)觀察、猜想、證明而推廣到一般.

如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對(duì)于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來(lái)表示第三邊呢?下面，我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題.

如下圖，在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，試根據(jù)b、c、∠A來(lái)表示a.

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形.在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于點(diǎn)D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過(guò)CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB，AD表示，進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解.探究過(guò)程如下：

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則在Rt△CDB中，根據(jù)勾股定理，得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2，

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2，

∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD.

又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA，

∴a2=b2+c2-2bccosA.

類(lèi)似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

另外，當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論.

這就是解三角形中的另一個(gè)重要定理——余弦定理.下面類(lèi)比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用.

教師與學(xué)生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現(xiàn)的，又涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，學(xué)生很容易想到向量的數(shù)量積的定義式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角.

用向量法探究余弦定理的具體過(guò)程如下：

如下圖，設(shè)CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b，

|c|2=c?c=(a-b)?(a-b)

=a?a+b?b-2a?b

=a2+b2-2abcosC.

所以c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

這個(gè)定理用坐標(biāo)法證明也比較容易，為了拓展學(xué)生的思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)法證明，過(guò)程如下：

如下圖，以C為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式

AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2，

∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C，

整理，得c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明：a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同的量，它們分別是三 角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，就可以求得第四個(gè)量.從而由三角形的三邊可確定三角形的三個(gè)角，得到余弦定理的另一種形式：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關(guān)于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學(xué)生比較并討論它們之間的關(guān)系.學(xué)生容易看出，若△ABC中，C=90°，則cosC=0，這時(shí)余弦定理變?yōu)閏2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣;勾股定理是余弦定理的特例.另外，從余弦定理和余弦函 數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和 等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角;如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角;如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.

應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)解三角形的問(wèn)題：

①已知三角形的三邊解三角形，這類(lèi)問(wèn)題是三邊確定，故三角也確定，有解;

②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類(lèi)問(wèn)題是第三邊確定，因而其他兩個(gè)角也確定，故解.不會(huì)產(chǎn)生利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷解的取舍的問(wèn)題.

把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來(lái)應(yīng)用，能很好地解決解三角形的問(wèn)題.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)定理可解決的問(wèn)題類(lèi)型會(huì)發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三邊和一個(gè)角的情況，而求另兩角中的某個(gè)角時(shí)，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個(gè)會(huì)更好些呢?教師與學(xué)生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來(lái)確定角的大小，所以一般應(yīng)該選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對(duì)的角.教師要點(diǎn)撥學(xué)生注意總結(jié)這種優(yōu)化解題的技巧.

討論結(jié)果：

(1)、(2)、(3)、(6)見(jiàn)活動(dòng).

(4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

(5)利用余弦定理可解決兩類(lèi)解三角形問(wèn)題：

一類(lèi)是已知三角形三邊，另一類(lèi)是已知三角形兩邊及其夾角.

應(yīng)用示例

例1如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

活動(dòng)：本例是利用余弦定理解決的第二類(lèi)問(wèn)題，可讓學(xué)生獨(dú)立完成.

解：由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos120°，

因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61.

例2如圖，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各個(gè)角的大小及其面積.(精確到0.1)

活動(dòng)：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出邊所對(duì)的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進(jìn)而求得第三角.教材中 這樣安排是為了讓學(xué)生充分熟悉正弦定理和余弦定理.實(shí)際教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己探求解題思路，比如學(xué)生可能會(huì)三次利用余弦定理分別求出三個(gè)角，或先求出最小邊所對(duì)的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵(lì)，然后讓學(xué)生自己比較這些方法的不同或優(yōu)劣，從而深刻理解兩個(gè)定理的.

解：由余弦定理，得

cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12，

因此∠BCA=120°，

再由正弦定理，得

sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0，

因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合題意，舍去).

因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.

設(shè)BC邊上的高為AD，則

AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.

所以△ABC的面積≈12×3×1.73≈2.6.

點(diǎn)評(píng)：在既可應(yīng)用正弦定理又可應(yīng)用余弦定理時(shí)，體會(huì)兩種方法存在的差異.當(dāng)所求的 角是鈍角時(shí)，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精確到1°)

解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0，

∴A≈44°.

∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1，

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.

例3如圖，△ABC的頂點(diǎn)為A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精確到0.1°)

活動(dòng)：本例中三角形的三點(diǎn)是以坐標(biāo)的形式給出的，點(diǎn)撥學(xué)生利用兩點(diǎn)間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出∠A.可由學(xué)生自己解決，教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

解：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73，

BC=?-2-4?2+?8-1?2=85，

AC=?6-4?2+?5-1?2=25.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.104 7，

因此∠A≈84.0°.

點(diǎn)評(píng)：三角形三邊的長(zhǎng)作為中間過(guò)程，不必算出精確數(shù)值.

變式訓(xùn)練

用向量的數(shù)量積運(yùn)算重做本例.

解：如例3題圖，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)，

∴|AB→|=73，|AC→|=20.

∴cosA=AB→?AC→|AB→||AC→|

=-8×?-2?+3×?-4?73×20

=2365≈0.104 7.

因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC.

活動(dòng)：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關(guān)于c的方程，亦能達(dá)到求c的目的.

解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°，

∴A1=81.8°，A2=98.2°.

∴C1=38.2°，C2=21.8°.

由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5，

∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB，

∴72=c2+82-2×8×ccos60°.

整理，得c2-8c+15=0，

解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

點(diǎn)評(píng)：在解法一的思路里，應(yīng)注意用正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決，故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意.

綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢(shì)以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.已知c=2，C=60°.

(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;

(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面積.

解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4，

又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC=3，ab=4.

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知條件，得b=2a，

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面積S=12absinC=233.

知能訓(xùn)練

1.在△ABC中，已知C=120°，兩邊a與b是方程x2-3x+2=0的兩根，則c的值為…

( )

A.3 B.7 C.3 D.7

2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角.

答案：

1.D 解析：由題意，知a+b=3，ab=2.

在△ABC中，由余弦定理，知

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

=(a+b)2-ab

=7，

∴c=7.

2.解：比較得知，x2+x+1為三角形的邊，設(shè)其對(duì)角為A.

由余弦定理，得

cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1?

=-12.

∵0

即三角形的角為120°.

課堂小結(jié)

1.教師先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過(guò)程，然后再讓學(xué)生用文字語(yǔ)言敘述余弦定理，準(zhǔn)確理解其實(shí)質(zhì)，并由學(xué)生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問(wèn)題.

2.教師指出：從方程的觀點(diǎn)來(lái)分析，余弦定理的每一個(gè)等式都包含了四個(gè)不同的量，知道其中三個(gè)量，便可求得第四個(gè)量.要通過(guò)課下作業(yè)，從方程的角度進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的.

3.思考本節(jié)學(xué)到的探究方法，定性發(fā)現(xiàn)→定量探討→得到定理.

作業(yè)

課本習(xí)題1—1A組4、5、6;習(xí)題1—1B組1～5.

設(shè)計(jì)感想

本教案的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“民主教學(xué)思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，合作探究，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，力求在課堂上人人都會(huì)有“令你自己滿(mǎn)意”的探究成果.這樣能夠不同程度地開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，且使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延伸.“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一種教學(xué)方法，本教案設(shè)計(jì)是從直角三角形出發(fā)，以歸納——猜想——證明——應(yīng)用為線索，用恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題通過(guò)啟發(fā)和點(diǎn)撥，使學(xué)生把規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來(lái)，而展現(xiàn)的過(guò)程合情合理，自然流暢，學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮.

縱觀本教案設(shè)計(jì)流程，引入自然，學(xué)生探究到位，體現(xiàn)新課程理念，能較好地完成三維目標(biāo)，課程內(nèi)容及重點(diǎn)難點(diǎn)也把握得恰到好處.環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計(jì)流程會(huì)強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動(dòng)地獲取知識(shí)，使學(xué)生的探究欲望及精神狀態(tài)始終處于狀態(tài).在整個(gè)教案設(shè)計(jì)中學(xué)生的思維活動(dòng)量大，這是貫穿整個(gè)教案始終的一條主線，也應(yīng)是實(shí)際課堂教學(xué)中的一條主線.

備課資料

一、與解三角形有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題

1.向量方法證明三角形中的射影定理

如圖，在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c.

∵AC→+CB→=AB→，

∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→.

∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→.

∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA.

∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA.

∴b-acosC=ccosA，

即b=ccosA+acosC.

同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB.

上述三式稱(chēng)為三角形中的射影定理.

2.解斜三角形題型分析

正弦定理和余弦定理的每一個(gè)等式中都包含三角形的四個(gè)元素，如果其中三個(gè)元素是已知的(其中至少有一個(gè)元素是邊)，那么這個(gè)三角形一定可解.

關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類(lèi)型：

(1)已知兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊，如A、B、a，解△ABC.

解：①根據(jù)A+B+C=π，求出角C;

②根據(jù)asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c.

如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②來(lái)求解.求解過(guò)程中盡可能應(yīng)用已知元素.

(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC.

解：①根據(jù)c2=a2+b2-2abcosC，求出邊c;

②根據(jù)cosA=b2+c2-a22bc，求出角A;

③由B=180°-A-C，求出角B.

求出第三邊c后，往往為了計(jì)算上的方便，應(yīng)用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對(duì)的角(它一定是銳角)，當(dāng)然也可以用余弦定理求解.

(3)已知兩邊及其中一條邊所對(duì)的角，如a、b、A，解△ABC.

解：①asinA=bsinB，經(jīng)過(guò)討論求出B;

②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C;

③再根據(jù)asinA=csinC，求出邊c.

(4)已知三邊a、b、c，解△ABC.

解：一般應(yīng)用余弦定理求出兩角后，再由A+B+C=180°，求出第三個(gè)角.

另外，和第二種情形完全一樣，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)角求出后，可以根據(jù)正弦定理求出第二個(gè)角，但仍然需注意要先求較小邊所對(duì)的銳角.

(5)已知三角，解△ABC.

解：滿(mǎn)足條件的三角形可以作出無(wú)窮多個(gè)，故此類(lèi)問(wèn)題解不.

3.“可解三角形”與“需解三角形”

解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是求解立體幾何和解析幾何問(wèn)題的一個(gè)重要工具.但在具體解題時(shí)，有些同學(xué)面對(duì)較為復(fù)雜(即圖中三角形不止一個(gè))的斜三角形問(wèn)題，往往不知如何下手.至于何時(shí)用正弦定理或余弦定理也是心中無(wú)數(shù)，這既延長(zhǎng)了思考時(shí)間，更影響了解題的速度和質(zhì)量.但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個(gè)概念，則情形就不一樣了.

所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個(gè)元素(至少有一邊)的三角形;而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形.當(dāng)一個(gè)題目的圖形中三角形個(gè)數(shù)不少于兩個(gè)時(shí)，一般來(lái)說(shuō)其中必有一個(gè)三角形是可解的，我們就可先求出這個(gè)“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解.在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類(lèi)型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況.

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問(wèn) 題的思考時(shí)間.一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析問(wèn)題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰颍ヌ骄?

二、備用習(xí)題

1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，則△ABC的面積S為( )

A.152 B.15 C.2 D.3

2.已知一個(gè)三角形的三邊為a、b和a2+b2+ab，則這個(gè)三角形的角是( )

A.75° B.90° C.120° D.150°

3.已知銳角三角形的兩邊長(zhǎng)為2和3，那么第三邊長(zhǎng)x的取值范圍是( )

A.(1,5) B.(1，5) C.(5，5) D.(5，13)

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新三角形的形狀為( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.由增加的長(zhǎng)度確定

5.(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知a=3，b=3，C=30°，則A=__________.

(2)在△ABC中，三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a=3，b=4，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為_(kāi)_________.

6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，試判斷△ABC的形狀.

7.在△ABC中，設(shè)三角形面積為S，若S=a2-(b -c)2，求tanA2的值.

參考答案：

1.A 解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;①

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.②

解①②，得b=4，c=2.

由cosA=78，得sinA=158，

∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.

2.C 解析：設(shè)角為θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，

∴cosθ=-12.∴θ=120°.

3.D 解析：若x為邊，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2

若x為最小邊，則由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5，

∴x>5.綜上，知x的取值范圍是5

4.A 解析：設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長(zhǎng)度為x.

則c+x為新三角形的最長(zhǎng)邊.設(shè)其所對(duì)的角為θ，由余弦定理知，

cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0.

∴θ為銳角，即新三角形為銳角三角形.

5.(1)30° (2)612 解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3，

∴a=c，則A=C=30°.

(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22

=a2+b2+c22=32+42+622=612.

6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb，

由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b，

又根據(jù)余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc，

故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2.

于是，得b2=a2，故b=a.

又因?yàn)?a +b+c)(a+b-c)=3ab，

故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2，

所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.

因此△ABC為正三角形.

7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA，

∴12bcsinA=a2-(b-c)2，

有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1，

即14?2sinA2?cosA2=1-cosA.

∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2.

∵sinA2≠0，故12cosA2=2 sinA2，∴tanA2=14.

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式，回顧上兩節(jié)課所解決的解三角形問(wèn)題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結(jié)合三角、向量、幾何等知識(shí)我們會(huì)探究出什么樣的解題規(guī)律呢?由此展開(kāi)新課.

思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)我們?cè)趹?yīng)用正弦定理解三角形時(shí)，已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角往往得出不同情形的解，有時(shí)有一解，有時(shí)有兩解，有時(shí)又無(wú)解，這究竟是怎么回事呢?本節(jié)課我們從一般情形入手，結(jié)合圖形對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的探究，由此展開(kāi)新課.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

?1?回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達(dá)式，并用文字語(yǔ)言敘述其內(nèi)容.能寫(xiě)出定理的哪些變式?

?2?正、余弦定理各適合解決哪類(lèi)解三角形問(wèn)題?

?3?解三角形常用的有關(guān)三角形的定理、性質(zhì)還有哪些?

?4?為什么有時(shí)解三角形會(huì)出現(xiàn)矛盾，即無(wú)解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22 cm，b=25 cm，A=135°，解三角形;,②已知三條邊分別是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形.

活動(dòng)：結(jié)合課件、幻燈片等，教師可把學(xué)生分成幾組互相提問(wèn)正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么?各式中有幾個(gè)量?有什么作用?用方程的思想寫(xiě)出所有的變形(包括文字?jǐn)⑹?，讓學(xué)生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類(lèi)型問(wèn)題、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積定理等.可讓學(xué)生填寫(xiě)下表中的相關(guān)內(nèi)容：

解斜三角形時(shí)可

用的定理和公式 適用類(lèi)型 備注

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三邊

(2)已知兩邊及其夾角

類(lèi)型(1)(2)有解時(shí)只有一解

正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R

(3)已知兩角和一邊

(4)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角 類(lèi)型(3)在有解時(shí)只有一解，類(lèi)型(4)可有兩解、一解或無(wú)解

三角形面積公式

S=12bcsinA

=12acsinB

=12absinC

(5)已知兩邊及其夾角

對(duì)于正弦定理，教師引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出其變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時(shí)的邊角互化.對(duì)于余弦定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出其變式(然后教師打出幻燈片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A

以上內(nèi)容的復(fù)習(xí)回顧如不加以整理，學(xué)生將有雜亂無(wú)章、無(wú)規(guī)碰撞之感，覺(jué)得好像更難以把握了，要的就是這個(gè)效果，在看似學(xué)生亂提亂問(wèn)亂說(shuō)亂寫(xiě)的時(shí)候，教師適時(shí)地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現(xiàn)、心中明朗的感覺(jué)，幻燈片除以上2張外，還有：

asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab.

出示幻燈片后，必要時(shí)教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況略作點(diǎn)評(píng).

與學(xué)生一起討論解三角形有時(shí)會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情況.如問(wèn)題(4)中的①會(huì)出現(xiàn)如下解法：

根據(jù)正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1.

∵0°

于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.

到這里我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出負(fù)角來(lái)，顯然是錯(cuò)誤的.問(wèn)題出在哪里呢?在檢驗(yàn)以上計(jì)算無(wú)誤的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件.由a=22 cm，b=25 cm，這里a

討論結(jié)果：

(1)、(3)、(4)略.

(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類(lèi)解三角形問(wèn)題：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).

③已知三邊，求三個(gè)角.

④已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角.

應(yīng)用示例

例1在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，b=acosC且△ABC的邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦值為13.

(1)判斷△ABC的形狀;

(2)求△ABC的面積.

活動(dòng)：教師與學(xué)生一起共同探究本例，通過(guò)本例帶動(dòng)正弦定理、余弦定理的知識(shí)串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生觀察條件b=acosC，這是本例中的關(guān)鍵條件.很顯然，如果利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有b=a?a2+b2-c22ab，兩種轉(zhuǎn)化策略都是我們常用的.引導(dǎo)學(xué)生注意對(duì)于涉及三角形的三角函數(shù)變換.內(nèi)角和定理A+B+C=180°非常重要，常變的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三個(gè)內(nèi)角的大小范圍都不能超出(0°，180°).

解：(1)方法一：∵b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC.

又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC，

即cosA?sinC=0.

又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2.

∴△ABC是A=90°的直角三角形.

方法二：∵b=acosC，

∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab，

2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.

由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形.

(2)∵△ABC的邊長(zhǎng)為12，由(1)知斜邊a=12.

又∵△ABC最小角的正弦值為13，

∴Rt△ABC的最短直角邊長(zhǎng)為12×13=4.

另一條直角邊長(zhǎng)為122-42=82，

∴S△ABC=12×4×82=162.

點(diǎn)評(píng)：以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個(gè)重要方向.因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解三角形中的靈活運(yùn)用，及正、余弦定理的靈活運(yùn)用.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且cosA=45.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面積S=3，求a.

解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A

=1+cosA2+2cos2A-1=5950.

(2)∵cosA=45，∴sinA=35.

由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13，

∴a=13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，若a=7，c=5，∠A=120°，求邊長(zhǎng)b及△ABC外接圓半徑R.

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他.點(diǎn)撥學(xué)生注意體會(huì)邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用.

解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49，

∴b2+5b-24=0.

解得b=3.(負(fù)值舍去).

由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733.

∴△ABC中，b=3，R=733.

點(diǎn)評(píng)：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學(xué)生體會(huì)這種解題方法，并探究其他的解題思路.

變式訓(xùn)練

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求：

(1)A的大小;

(2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值.

解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，

∴∠A=30°.

(2)2sinBcosC-sin(B-C)

=2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC)

=sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA

=12.

例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：

(1)AB的長(zhǎng);

(2)四邊形ABCD的面積.

活動(dòng)：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓學(xué)生自己獨(dú)立解決，體會(huì)正、余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應(yīng)用.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°.

又因?yàn)椤螧DC=45°，

所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3.

在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°，

所以BDsin75°=DCsin60°，BD =3sin75°sin60°=6+22.

在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5，所以AB=5.

(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.

同理， S△BCD=3+34.

所以四邊形ABCD的面積S=6+334.

點(diǎn)評(píng)：本例解答對(duì)運(yùn)算能力提出了較高要求，教師應(yīng)要求學(xué)生“列式工整、算法簡(jiǎn)潔、運(yùn)算正確”，養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣.

變式訓(xùn)練

如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=90°+60°=150°，

CB=AC=CD，

所以∠CBE=15°.

所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?，

故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.

例4在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

活動(dòng)：此題所證結(jié)論包含關(guān)于△ABC的邊角關(guān)系，證明時(shí)可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過(guò)余弦定理;二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過(guò)正弦定理.另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.

證法一： (化為三角函數(shù))

a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC.

所以原式得證.

證法二： (化為邊的等式)

左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC.

點(diǎn)評(píng)：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.

變 式訓(xùn)練

在△ABC中，求證：

(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

asinA=bsinB= csinC= k，

顯然 k≠0，所以

左邊=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右邊.

(2)根據(jù)余弦定理，得

右邊=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊.

知能訓(xùn)練

1.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別為a、b、c.若△ABC的面積S=c2-(a-b)2，則tanC2等于( )

A.12 B.14 C.18 D.1

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿(mǎn)足4sin2A+C2-cos2B=72.

(1)求角B的度數(shù);

(2)若b=3，a+c=3，且a>c，求a、c的值.

答案：

1.B 解析：由余弦定理及面積公式，得

S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC，

∴1-cosCsinC=14.

∴tanC2=1-cosCsinC=14.

2.解：(1)由題意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12.

∵0

(2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac，

∴ac=2.①

又∵a+c=3，②

解①②聯(lián)立的方程組，得a=2，c=1或a=1，c=2.

∵a>c，∴a=2，c=1.

課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形問(wèn)題，特別是已知兩邊及其一邊的對(duì)角時(shí)解的情況，通過(guò)例題及變式訓(xùn)練，掌握了三角形中邊角互化的問(wèn)題以及聯(lián)系其他知識(shí)的小綜合問(wèn)題.學(xué)到了具體問(wèn)題具體分析的良好思維習(xí)慣.

教師進(jìn)一步點(diǎn)出，解三角形問(wèn)題是確定線段 的長(zhǎng)度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關(guān)系，三角形中，有六個(gè)元素：三條邊、三個(gè)角;解三角形通常是給出三個(gè)獨(dú)立的條件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，兩個(gè)條件(元素)就夠了.正弦定理與余弦定理是刻畫(huà)三角形邊角關(guān)系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素;余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素.

作業(yè)

課本本節(jié)習(xí)題1—1B組6、7.

補(bǔ)充作業(yè)

1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，試判斷△ABC的形狀.

2.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，A=60°，B>C，b、c是方程x2-23x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長(zhǎng).

解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2，

由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，

∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B.

∴sinA?cosA=sinB?cosB，

即sin2A=sin2B.

∴A+B=90°或A=B，

即△ABC為等腰三角形或直角三角形.

2.由韋達(dá)定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32，

∴m=2.

則原方程變?yōu)閤2-23x+2=0，

解得兩根為x=3±1.

又B>C，∴b>c.

故b=3+1，c=3-1.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6.

∴所求三角形的三邊長(zhǎng)分別為a=6，b=3+1，c=3-1.

設(shè)計(jì)感想

本教案設(shè)計(jì)的思路是：通過(guò)一些典型 的實(shí)例來(lái)拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時(shí)，所選例題突出了函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關(guān)系.

本教案的設(shè)計(jì)注重了一題多解的訓(xùn)練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學(xué)生對(duì)換個(gè)角度看問(wèn)題有所感悟，使學(xué)生經(jīng)常自覺(jué)地從一個(gè)思維過(guò)程轉(zhuǎn)換到另一個(gè)思維過(guò)程，逐步培養(yǎng)出創(chuàng)新意識(shí).換一個(gè)角度看問(wèn)題，變通一下，也許會(huì)有意想不到的效果.

備課資料

一、正弦定理、余弦定理課外探究

1.正、余弦定理的邊角互換功能

對(duì)于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開(kāi)始熟悉，在解三角形的問(wèn)題中常會(huì)用到它，其實(shí)，在涉及到三角形的其他問(wèn)題中，也常會(huì)用到它們.兩個(gè)定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問(wèn)題得以解決.

【例1】 已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對(duì)角，且sinAsinB=32，求a+bb的值.

解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(這是角的關(guān)系)，

∴ab=32(這是邊的關(guān)系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.

【例2】 已知△ABC中，三邊a、b、c所對(duì)的角分別是A、B、C，且2b=a+c.

求證：sinA+sinC=2sinB.

證明：∵a+c=2b(這是邊的關(guān)系)，①

又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，②

c=bsinCsinB.③

將②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(這是角的關(guān)系).

2.正、余弦定理的巧用

某些三角習(xí)題的化簡(jiǎn)和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從而使問(wèn)題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°，

∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角.

設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(*)

而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(*)式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.

二、備用習(xí)題

1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，則此三角形( )

A.無(wú)解 B.只有一解

C.有兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定

2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，則A等于( )

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.△ABC中，若acosB=bcosA，則該三角形一定是( )

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.△ABC中，tanA?tanB

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.以上都有可能

5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，則△ABC的面積是__________.

6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求：

(1)sinBsinC;

(2)sinB+sinC.

7.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若a=4，b+c=6，且b

參考答案：

1.A 解析：∵a90°，因此無(wú)解.

2.C 解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理，得

cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.

∴A=120°.

3.D 解析：由已知條件結(jié)合正弦定理，得

sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB，

∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A=180°-2B，

即A=B或A+B= 90°.

因此三角形為等腰三角形或直角三角形.

4.B 解析：由已知條件，得sinAcosA?sinBcosB0，cosCcosAcosB

說(shuō)明cosA，cosB，cosC中有且只有一個(gè)為負(fù).

因此三角形為鈍角三角形.

5.23或3 解析：由ACsin30°=ABsinC，知sinC=32.

若∠C=60°，則△ABC是直角三角形，S△ABC=12AB×AC=23.

若∠C=120°，則∠A=30°，S△ABC=12AC×AB?sin30°=3.

6.解法一：(1)∵b=3，c=5，A=120°，

∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.

由正弦定理，得sinB=bsinAa=3×327=3314，sinC=csinAa=5314，

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

解法二：(1)由余弦定理，得a=7，

由正弦定理a=2RsinA，得R=a2sinA=733，

∴sinB=b2R=32×733=3314，sinC=c2R=5314.

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

7.解：(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.

(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，

即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA

數(shù)學(xué)《余弦定理》教學(xué)反思

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)教材北師大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一課時(shí)內(nèi)容，《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教材把解三角形這部分內(nèi)容安排在必修5，位置相對(duì)靠后，在此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識(shí)聯(lián)系密切的內(nèi)容，使得這部分知識(shí)的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容處理的更加簡(jiǎn)潔。學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，可是比較突出的是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造能力弱，往往不能把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能把所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去，盡管對(duì)一些常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解法的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問(wèn)題時(shí)卻辦法不多，對(duì)于諸如觀察、分析、歸納、類(lèi)比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方法了解不夠，針對(duì)這些情況，教學(xué)中要重視從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間的另一定理，是解決有關(guān)三角形問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題(如測(cè)量等)的重要定理，它將三角形的邊角有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了邊與角的互化，從而使三角和幾何有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，為求與三角形有關(guān)的問(wèn)題提供了理論依據(jù)。

教科書(shū)直接從三角形三邊的向量出發(fā)，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，得到余弦定理，言簡(jiǎn)意賅，簡(jiǎn)潔明快，但給人感覺(jué)似乎跳躍較大，不夠自然，因此在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境中加了一個(gè)鋪墊，即讓學(xué)生想用向量方法證明勾股定理，再由特殊到一般，將直角三角形推廣為任意三角形，余弦定理水到渠成，并與勾股定理統(tǒng)一起來(lái)，這一嘗試是想回答：一個(gè)結(jié)論源自何處，是怎樣想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加減法運(yùn)算，其實(shí)向量的加減法的三角法則和平行四四邊形法則從形上揭示了三角形的邊角關(guān)系，而正弦定理與余弦定理是從數(shù)量關(guān)系上揭示了三角形的邊角關(guān)系，向量的數(shù)量積則打通了三角形邊角的數(shù)形聯(lián)系，因此用向量方法證明正、余弦定理比較簡(jiǎn)潔，在證明余弦定理時(shí)，讓學(xué)生自主探究，尋找新的證法，拓展思維，打通余弦定理與正弦定理、向量、解析幾何、平面幾何的聯(lián)系，在比較各種證法后體會(huì)到向量證法的優(yōu)美簡(jiǎn)潔，使知識(shí)交融、方法熟練、能力提升。

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)是激發(fā)學(xué)生的潛能，教會(huì)學(xué)生思考，讓學(xué)生變得聰明，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，具有創(chuàng)新品質(zhì)，具備數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)是題中之義，想一想，成人工作以后，有多少人會(huì)再用到余弦定理，但圍繞余弦定理學(xué)生學(xué)到的發(fā)現(xiàn)方法、思維方式、探究創(chuàng)造與數(shù)學(xué)精神則會(huì)受用不盡。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)首先應(yīng)圍繞培養(yǎng)學(xué)生興趣、激發(fā)原動(dòng)力，讓學(xué)生想學(xué)數(shù)學(xué)這門(mén)課，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法，具備終身學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。教師要不斷提出好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還要教會(huì)學(xué)生提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)和方法，并逐步將發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)變成直覺(jué)和習(xí)慣，在本節(jié)課中，通過(guò)余弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類(lèi)比、發(fā)現(xiàn)、推理的能力，學(xué)生在教師引導(dǎo)下，自主思考、探究、小組合作相互交流啟發(fā)、思維碰撞，尋找不同的證明方法，既培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)掌握了學(xué)習(xí)概念、定理的基本方法，增強(qiáng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。其次，掌握正確的學(xué)習(xí)方法，沒(méi)有正確的學(xué)習(xí)方法，興趣不可能持久，概念、定理、公式、法則的學(xué)習(xí)方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方法，學(xué)習(xí)的過(guò)程就是知其然，知其所以然、舉一反三的過(guò)程，學(xué)習(xí)余弦定理的過(guò)程正是指導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好學(xué)習(xí)方法的范例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理的來(lái)龍去脈，掌握余弦定理證明方法，理解余弦定理與其他知識(shí)的密切聯(lián)系，應(yīng)用余弦定理解決其他問(wèn)題。在余弦定理教學(xué)中，尋求一題多解，探究證明余弦定理的多種方法，指導(dǎo)一題多變，改變余弦定理的形式，如已知兩邊夾角求第三邊的公式、已知三邊求角的余弦值的公式，啟發(fā)學(xué)生一題多想，引導(dǎo)學(xué)生思考余弦定理與正弦定理的聯(lián)系，與勾股定理的聯(lián)系、與向量的聯(lián)系、與三角知識(shí)的聯(lián)系以及與其他知識(shí)方法的聯(lián)系，通過(guò)不斷改變方法、改變形式、改變思維方式，夯實(shí)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，打通了知識(shí)聯(lián)系，掌握了數(shù)學(xué)的基本方法，豐富了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維和潛能。

教學(xué)中也會(huì)有很多遺憾，有許多的漏洞，在創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)方法、鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑提問(wèn)、猜想等方面有很多遺憾，比如：如何引入向量，解釋的不夠。最后，希望各位同仁批評(píng)指正。

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